お問い合わせいただきありがとうございます。

ネットを削除した際に、該当のネット名を持った配線が削除される件についてですが
Quadceptではラッツ（ネット）のある部分にのみ配線をひくことができる仕様となっておりますので
ネットを削除すると該当の配線はラッツ（ネット）を失うこととなり、削除されることとなります。

今回nagasawa様の意図する動作を行うとなりますと、以下の2つの方法をお試しいただけますと幸いです。
 
■選択したパッド・配線のネットを変更する。
 1. 部品とパターンを合わせてコピー＆ペーストして複製します。
 2. ネットを変更したい配線を選択し【右クリック】→【選択方法】→【スプレット選択】（キーボード【Shift + C】押下でショートカット）
　　で繋がっているパッド・配線が選択状態になります。
 3. 初期設定では画面左側に配置されている「プロパティ」ウィンドウにて【ネット名】を任意のネットに変更する。

■コピーした配線のネットが、配置先のネットに変更される。
 1. 部品のみを【相対移動】でコピー配置する。
※相対移動について　https://www.quadcept.com/ja/manual/pcb/post-73
 2. コピーした部品のパッドのネットを任意のものに変更する。
※「ネット追加」で手動で変更、ネットリストがあるのであれば「ネットリスト入力」でも変更可能です。
 3. 元の部品に接続してある配線を選択して、1. と同じ距離設定にて【相対移動】で配線を複製配置する。
※コピーされた配線が、別のネットを持つパッドに正しく配置されると
　 配線の持つネットは新しく接続されたパッドのネット名に変更されます。

以上の方法で複製後のネット名を変更することが可能となりますので、お手数ですが、一度お試しいただけますと幸いです。
nagasawa様の意図している動作と異なっておりましたら申し訳ございません。
その際は、どのような状況を意図されているのかもう少し詳しくご教授くださいませ。

取り急ぎではございますが、どうぞよろしくお願いいたします。